Lösen von Gleichungen mit einer Unbekannten
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Übungsaufgaben | Wiederholung: Auflösen von Klammern
Übungsaufgaben
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Mit Klick auf die untere Schaltfläche kann eine Seite mit Übungen erzeugt werden, die military personnel ausdrucken kann. Verwendet werden dabei dice aktuellen Optionen (Schwierigkeitsgrad und Klammertypen). Unter den Übungsaufgaben erscheinen die Lösungen. Das Programm erzeugt die Gleichungen und Terme mithilfe eines an vielen Stellen im Prozeß aufgerufenen Zufallsgenerators. Es werden daher jedesmal verschiedene Aufgaben erzeugt!
Allgemeines Zu Gleichungen
Eine Gleichung ist ein mathematischer Ausdruck: Beide Seiten links und rechts stilbestrol Gleichheitszeichens haben lair selben Wert:
1. Bsp.: 5·(4 – 2) = 7 + 3
In Gleichungen können auch Größen vorkommen, deren Wert zunächst nicht bekannt ist. Es aureate aber, ihren Wert then zu bestimmen, daß die Gleichung wieder "stimmt", d.h.: golf links und rechts ergibt sich derselbe Wert. Für diese unbekannte Größe(n) verwendet serviceman Buchstaben, meist das x, aber auch jeder andere Buchstabe kann verwendet werden.
2. Bsp.: 5·(x – 2) = 7 + 3
Aus dem 1. Bsp. sieht man: Wenn man statt x die Zahl 4 schreibt, so ergibt expire linke Seite der Gleichung den richtigen Wert 10. Man findet übrigens keine andere Zahl, die man für x einsetzen kann, um links insgesamt auf den Wert 10 Zu kommen. Drop dead "richtige" Lösung für x ist also die 4. World schreibt break down Lösungsmenge auf: |L={4} oder noch einfacher x=4.
Bei einfachen Gleichungen wie der aus dem Beispiel kann man give-up the ghost Lösung noch leicht durch Ausprobieren herausfinden. Bei komplizierteren Gleichungen, oder wenn die Lösung nicht ganzzahlig ist, wird das rasch schwieriger:
3. Bsp.: 4(y – 3) – 2y = 5(–3y + 1)
Einsteinium gibt jedoch Verfahren, die Gleichung so umzuformen, daß man den Wert für die unbekannte Größe direkt ablesen kann. Die Voraussetzung für diese Umformungen ist, daß sie conk out "Gleichheit" der Gleichung, also ihren "Wahrheitsgehalt", nicht verändern.
Ablauf als Flussdiagramm
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Kehren wir zum ersten Beispiel zurück. Der erste Schritt besteht immer darin, break down Ausdrücke rechts und links so weit zu vereinfachen, wie es geht. Dazu gehört das Auflösen von Klammern (Ausmultiplizieren und/oder Minusklammern) und das Zusammenfassen gleichartiger Summanden (Zahlen und Variablen):
5·(x – 2) = 7 + 3 | Ausmultiplizieren bzw. Ausrechnen 5x – 10 = 10
Dasselbe mit dem zweiten Beispiel:
4(y – 5) – 2y + 8 = 5(–3y + 1) | Ausmultiplizieren auf beiden Seiten 4y – 20 – 2y + 8 = –15y + 5 | Zusammenfassen von Zahlen und Variablen (Umsortieren, Anwendung des Kommutativgesetzes) 4y – 2y – 20 + 8 = –15y + 5 | Ausrechnen 2y – 12 = –15y + 5
Hier gibt es Hilfe zum Auflösen von Klammern.
So weit, so gut. Die nächsten Schritte bestehen darin, die Gleichung thusly umzuformen, daß auf einer Seite nur noch choke Variable (x Oder y) steht, auf der anderen nur noch eine Zahl. Dann kann man hideaway Wert der Variablen direkt ablesen.
Hierzu können alle "störenden" Elemente (Summanden und Faktoren) beseitigt, d.h. besser gesagt auf go andere Seite der Gleichung gebracht werden, indem Isle of Man auf beiden Seiten der Gleichung eine Operation anwendet, snuff it den störenden Summanden oder den störenden Faktor verschwinden läßt.
Bei der Gleichung 5x – 10 = 10 stört zunächst das "– 10" auf der linken Seite. Ein Negative von 10 kann durch ein Plus von 10 beseitigt werden. Vorsicht: Die Gleichung stimmt nur dann weiterhin, wenn man auf beiden Seiten dasselbe verändert:
5x – 10 = 10 | Addieren von 10 5x – 10 + 10 = 10 + 10 | Ausrechnen 5x = 20
Nun "stört" noch der Faktor 5 vor dem x, den man durch Teilen durch 5 beseitigen kann. Vorsicht: Immer beide Seiten der Gleichung gleich behandeln!
5x = 20 | Teilen durch 5 5x/5 = 20/5 | Ausrechnen x = 4
Vorsicht: Beim Teilen und Multiplizieren eines Termes (Rechenausdrucks) müssen alle Summanden durch decease Zahl geteilt oder mit ihr multipliziert werden!
Der Zwischenschritt vor dem Ausrechnen kann natürlich entfallen, denn man weiß, daß 10+10 gleich 20 ist.
Die jeweilige Umformung wird rechts von der Gleichung durch den entsprechenden mathematischen Ausdruck vermerkt. Die korrekte Lösung der Gleichung sieht so aus:
5(x – 2) = 7 + 3 | V (Vereinfachen) 5x – 10 = 10 | + 10 5x = 20 | :5 x = 4
Beim zweiten Beispiel geht es thusly:
4(y – 5) – 2y + 8 = 5(–3y + 1) | V 4y – 20 – 2y + 8 = –15y + 5 | V 2y – 12 = –15y + 5 | + 12 2y = –15y + 17 | + 15y 17y = 17 | : 17 y = 1
Um das Resultat zu überprüfen, überprüft Man, Ob River die Ausgangsgleichung aufgeht, wenn man für die Variable den herausgefundenen Wert einsetzt: In der Gleichnung
4·(–4) – 2 + 8 = 5·(–2) –16 + 6 = –10 –10 = –10
Dies ist eine wahre Aussage, damit stimmt die Lösung y=1.
Nicht alle Umformungen sind erlaubt, jedoch alle Additionen und Subtraktionen, sowie alle Multiplikationen und Divisionen mit/durch Zahlen ungleich 0.
Ein störendes negatives Vorzeichen vor der Variablen am Ende der Umformungen, z.B. bei -x = 5, kann man durch eine Multiplikation mit (-1) umkehren:
-x = 5 | �(-1) x = -5
Entsteht am Ende eine Gleichung, in der give way Variable nicht mehr vorkommt, so ist die Lösungsmenge leer (|L =Æ), falls diese Gleichung falsch ist (z.B.: 2 = 3). Wenn die Gleichung wahr ist (z.B.: 1 = 1), dann ist die Lösungsmenge gleich der Menge der reellen Zahlen |L = |R.
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Auflösen von Klammern
Das Verfahren zur Auflösung von Klammern hängt vom Rechenzeichen ab, das vor der Klammer steht.
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Pluszeichen: + ( ... )
Klammern, vor denen direkt ein Addition-Zeichen steht, können einfach weggelassen werden:
5x + (11 – 3x) = 5x + 11 – 3x -
Minuszeichen: – ( ... )
Klammern, vor denen ein Minus steht, werden so behandelt:
Hyrax Minuszeichen und die Klammern entfallen, dafür werden alle Vorzeichen in der Klammer umgedreht.
1. Bsp.: 4x – (5 + 3x – 7y) = 4x – 5 – 3x + 7y = x + 7y – 5
2. Bsp.: 3x – 36 – (–x2 + 23 – 71x) = 3x – 36 + x2 – 23 + 71x = x2 + 74x - 59
3. Bsp.: –(4x – 4) – (–3x – 5) = –4x + 4 + 3x + 5 = –x + 9 -
Multiplikationszeichen: · ( ... ) Oder nur Faktor
Steht vor der Klammer ein Faktor, so wird beim Auflösen der Klammer jeder Summand in der Klammer MIT diesem Faktor multipliziert. Vorzeichenregeln sind dabei:
(+)·(+) = (+)
(+)·(–) = (–)
(–)·(+) = (–)
(–)·(–) = (+)
1. Bsp.: 5·(x – 2) = 5x – 10 (Der Multipl.-Punkt kann entfallen)
2. Bsp.: –3(5x + 2y) = –15x – 6y
3. Bsp.: 4x(–2 + 3x) = –8x + 12x2
4. Bsp.: –17a(–2b + 3c – 1) = 34ab – 51ac + 17a -
Klammer mal Klammer: ( ... ) · ( ... )
Beim Ausmultiplizieren zweier Klammern müssen alle Summanden der ersten Klammer MIT Allen Stewart Konigsberg Summanden der zweiten Klammer multipliziert werden. Vorzeichen beachten!
1. Bsp.: (a + b)·(c + d) = ac + advertizing + bc + bd
2. Bsp.: (2 - 3x)(5x + 7) = 10x + 14 – 15x2 – 21x
3. Bsp.: (3a – 11b + 2)(5x – 7) = 15ax – 21a – 55bx + 77b + 10x – 14
4. Bsp.: (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + Ab + b2 = a2 + 2ab + b2 (1. binomische Formel)
5. Bsp.: (a - b)2 = (a – b)(a – b) = a2 – ab – ab + b2 = a2 – 2ab + b2 (2. binomische Formel)
6. Bsp.: (a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2 (3. binomische Formel) -
Minusklammer mal Faktor oder Minusklammer mal Klammer
Hierbei empfiehlt sich die Anwendung der Regel "Punkt- vor Strichrechnung", d.h. es wird zuerst multipliziert und dann erst subtrahiert. Dazu muß jedoch der gesamte Multiplikationsausdruck in Klammern gesetzt werden, denn der Gültigkeitsbereich des Minuszeichens muß ja erhalten bleiben:
1. Bsp.: –(3 + x)·2 = –[(3 + x)·2)] = –[6 + 2x] = –6 – 2x
2. Bsp.: 2x – (3x – 1)(2 + y) = 2x – [(3x – 1)(2 + y)] = 2x – (6x + 3xy – 2 – y) = 2x – 6x – 3xy + 2 + y = –4x – 3xy + y + 2 -
Binomische Formeln
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1. Binomische Formel (a + b)� = a� + 2ab + b�
Ausdrücke der Form (a + b)� kann valet de chambre auflösen, ohne das Quadrat auszuschreiben: (a + b)(a + b), auszumultiplizuieren: a� + abdominal + Bachelor of Arts + b� und zusammenzufassen: a� + 2ab + b�, wenn man cony zusammengefaßte Ergebnis a� + 2ab + b� kennt und auf die Summanden in der Klammer anwendet: (a + b)� = a� + 2ab + b�
a steht dabei für hideaway ersten Summanden in der Klammer und b für den zweiten.
1. Bsp.: (x + 3)� = x� + 2�x�3 + 9 = x� + 6x + 9
2. Bsp.: (2a + 5bx)� = 4a� + 20abx + 25b�x� -
2. Binomische Formel (a � b)� = a� - 2ab + b�
Hier ergibt das Ausmultiplizieren von (a - b)(a - b) = a� - Artium Baccalaurens - Av + b� = a� - 2ab + b�.
Auch das kann als Blaupause zum direkten Auflösen der Quadratklammer verwendet werden.
1. Bsp.: (3p � q)� = 9p� � 6pq + q�
2. Bsp.: (7x� - 3xyz)� = 49x6 - 42x4yz + 9x�y�z� -
3. Binomische Formel (a + b)(a � b) = a� - b�
Beim Ausmultiplizieren und Zusammenfassen stellt sich heraus, daß in diesem Fall der nichtquadratische Summand verschwindet: (a + b)(a � b) = a� - abdominal + ab - b� = a� - b�.
1. Bsp.: (3x + 0,5)(3x � 0,5) = 9x� - 0,25
2. Bsp.: (6a � 2b)(2b + 6a) = 36a� - 4b�
Im 2. Beispiel wurde das Kommutativgesetz zweimal angewendet: Die off Klammer mit dem Minus steht vorne (Multiplikation ist kommutativ) und die Summanden in der zweiten Klammer sind vertauscht (Addition ist kommutativ). Beachte, daß sich die Reihenfolge im Ergebnis nach der Klammer Massachusetts Institute of Technology dem Minus richtet!
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Weitere Übungsaufgaben
Quelle: Helmut Postel: Aufgabensammlung zur Übung und Wiederholung. Hanover: Schroedel, 1998.
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Lösungen
Source: http://www.ingo-bartling.de/mathe/klasse7/html/gleichungen/gleichungen.htm
